O cálculo dos juros de um empréstimo ou financiamento é bem fácil de fazer, ainda mais com as calculadoras, mas não é algo trivial. Muitos, senão a maioria, não sabem as fórmulas para encontrar o valor dos juros, das prestações e do montante final de uma operação de crédito.

Para ajudar a quem precisa dessas informações, compilamos as principais fórmulas da querida e útil matemática financeira.

Conceitos de Matemática Financeira

Antes de continuar, o leitor deve conhecer previamente os seguintes conceitos frequentemente utilizados em finanças:

  • Valor Presente [  VP ]: valor do empréstimo, produto na data presente, sem acréscimo de juros.
  • Valor Futuro [  VF ) ]: valor do empréstimo, produto na data futura, com acréscimo de juros.
  • Pagamento [  PGTO ]: valor de cada prestação.
  • Número de períodos [  n ) ]: número de períodos [dias, meses, anos, etc.] de pagamento.
  • Taxa de juros [  i ]: taxa de crescimento da dívida a cada período.
  • Juros [  J ]: custo do dinheiro.
  • Montante [  M ]: valor acumulado de capital mais os juros.
  • Saldo devedor [  S ]: é o valor que ainda deve ser pago ao credor.
  • Amortização [  A ]: parte da prestação para liquidar a dívida.

Conhecimento de matemática, como equações, função exponencial e porcentagem são essenciais para realizar os cálculos financeiros.

 

Tipos de Juros

Juros simples

O juro simples é utilizado para o cálculo de um único período (mês, ano). Calcular o valor dos juros simples é fácil. A fórmula é a seguinte:

 J = PV \times i \times t

Exemplo: você deve cem reais [R$ 100,00] a uma taxa de juros [J] de 2% ao mês, modalidade simples. Como já faz dois meses desde o empréstimo, então sua dívida terá crescido R$ 4,00, pois:

 R$\, 100,00 \times 2\% \times 2 = R$\, 4,00

Juros compostos

Os juros compostos, também conhecidos como juro sobre juro, exigem um pouco mais de cálculo já que incluem uma operação de potenciação:

 J = PV \times [ ( 1 + i )^{t} -1 ]

O uso de uma calculadora com função de expoente [  x^{y} ] se faz necessário para encontrar os valores de juros compostos.

O crescimento do juro composto é linear, já o juro composto cresce de forma exponencial. Portanto, com o passar do tempo, um investimento ou empréstimo com juros compostos cresce cada vez mais rápido.

Essa é uma característica notável, tanto que há uma lenda urbana que declara que Albert Einstein teria dito:

A força mais poderosa no universo são os juros compostos.

Exemplo: Um depósito na poupança rende 0,5% ao mês com juros compostos. Se você aplicar R$ 1.000,00 hoje, daqui a 6 meses esse dinheiro terá aumentado em R$ 30,38, dado que:

 R$\, 1.000,00 \times [( 1 + 0,005)^6 - 1)] = R$ 30,38

Outros Cálculos e Conceitos

Como calcular os juros para períodos não inteiros

No caso de períodos quebrados, não inteiros, deve-se converter a taxa de juros e/ou o período mais conveniente para o cálculo.

Por exemplo, numa operação de crédito com cobrança de juro de 10% a.a., queremos saber quanto será cobrado para um período de 8 meses. Neste caso, devemos calcular a taxa mensal equivalente da seguinte forma:

 J_{8\, meses} = 8 \times \frac{10\%\, a.a.}{12\, meses} = 6,67\%

Portanto, serão pagos 6,67% de juros no período de 8 meses num empréstimo com capitalização anual de 10%.

Juro exato, juro comercial e juro ordinário [regra dos banqueiros]

Existem três formas de juros: os exatos, os comerciais e os ordinários, dependendo de como o tempo é contado. Nos juro exatos, é usado o calendário civil [com ano de 365 dias]. Já os juros comerciais usam o calendário comercial [aquele com ano de 360 dias e meses de 30 dias].

Os juros ordinários são os mesmo dos juros comerciais, só que usam a "regra dos banqueiros" para conta o intervalo de tempo.

Por exemplo, o juro exato diário de uma taxa dada anual é:

 \frac {taxa\, anual}{365\, dias} = taxa\, exata\, di\acute{a}ria

Já a taxa diária comercial seria calculada da seguinte forma:

 \frac {taxa\, anual} {360\, dias} = taxa\, comercial\, di\acute{a}ria

Taxa nominal, taxa efetiva e taxa equivalente

A taxa de juro nominal é aquela em que o período, numa capitalização composta, não coincide com a unidade de tempo da taxa anunciada. Por exemplo, a taxa de juros nominal anunciada por um banco é de 24% ao ano, mas a formação de juros é calculada mensalmente, com capitalização composta. Sendo assim, a taxa é de 2% ao mês [  \frac{24\%\, a.a.} {12\, meses} ], e resulta em 26,82% ao ano. Uma diferença de 11,75%.

Por isso a importância da observação do CET num financiamento ou empréstimo.

A taxa efetiva é aquela que incide de fato na operação. No exemplo anterior, 26,82% a.a. é a taxa efetiva do empréstimo.

As taxas proporcionais são aquelas em que, dadas em unidades de tempo diferentes, produzem o mesmo montante final quando se aplica o mesmo capital num mesmo período de tempo, num regime de juros simples.

Taxas equivalentes são aquelas que, se aplicadas sobre o mesmo capital e mesmo período de tempo, com intervalos de capitalização diferentes [mensal, semestral, anual, etc.], produzem o mesmo montante final, sob um regime de juros compostos. Podemos dizer que 26,82% a.a. é equivalente a 2% a.m.

Portanto, a diferença entre taxas proporcionais e taxas equivalentes está no regime em que os juros são aplicados. Taxas proporcionais consideram juros simples, enquanto taxas equivalentes consideram juros compostos.

Sistemas de Amortização

Amortização é o a parte da prestação para liquidar o saldo devedor, ou seja, não inclui os juros — portanto,  A + J = PGTO .

Existem diversas modalidades de crédito com diferentes tipos de amortização. As operações de crédito imobiliário e de automóveis, por exemplo, utilizam a amortização chamada SAC, enquanto que as operações de empréstimo e crediário utilizam a amortização da Tabela Price.

Sistema de Amortização Constante [SAC]

O Sistema de Amortização Constante é usado no financiamento de imóveis, pois apresenta duas vantagens:

  • Prestações decrescentes e
  • Liquidação mais rápida do saldo devedor.

Os juros de cada prestação no SAC são calculados sobre o saldo devedor do mês anterior. Assim, as prestações são compostas por duas partes: a amortização [pagamento da dívida] e os juros. Como o saldo devedor diminui mês a mês, os juros também diminuem proporcionalmente, fazendo com que as prestações sejam decrescentes.

Exemplo

Uma pessoa pega um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser pago no SAC em 10 parcelas, com juros de 5% ao mês.

Cálculo do Saldo Devedor

O saldo devedor na prestação n [  S_n ] é calculado subtraindo do saldo devedor inicial [  S_0 ] o total de amortização já pago [  A \times n ].

 S_n = S_0 - A \times n

onde:

  •  S_n  é o saldo no período  n
  •  S_0  é o saldo inicial
  •  A é o valor da amortização

Cálculo de Juros

 J_n = ( k - n + 1 ) \times A \times i

onde:

  •  J_n é o valor do juro no período n
  •  k é o número de prestações

Agora a fórmula para calcular os juros totais ao final do empréstimo:

 J = n \times i \times PV + \frac{n \times (n-1)}{2} \times (-A \times i)

  • [CET] Custo Efetivo Total

Tabela Price

A Tabela Price é usada frequentemente nas operações de crediário [compras parceladas] pois tem como principal característica as prestações constantes.

Como se pode ver no gráfico acima, as prestações são constantes na Tabela Price, só variando a proporção entre juros e amortização.

No cálculo de um financiamento no Sistema de Amortização Francês, o Coeficiente de Financiamento é um importante número para calcular o valor da prestação e o valor futuro.

A fórmula é a seguinte:

 CF = \frac{i}{1 - ( 1 + i )^{-n}}

Ao multiplicar CF por PV obtemos o valor das prestações:

 PGTO = CF \times VP

Com essa fórmula sabemos exatamente quanto iremos pagar por mês, mas perdemos a noção de quanto pagamos de juros e amortização em cada período. Para essa informação precisamos consultar uma tabela fornecida pelo credor [banco] ou fazer o cálculo mês a mês, no papel ou numa planilha [Excel].

Nesse caso as fórmulas são as seguintes:

Cálculo dos juros: saldo devedor do mês anterior multiplicado pela taxa de juros mensal.

 J_n = S_{n-1} \times i

Cálculo da amortização: subtração da prestação pelos juros.

 A_n = PGTO - J_n

Cálculo do saldo devedor: subtração do saldo devedor anterior pela amortização do período em questão.

 S_n = S_{n-1} - A_n

É convenção da Tabela Price ter taxa Nominal anual capitalizada mensalmente, ou seja, é a taxa dada é anual mas o pagamento é mensal.

O cálculo do valor futuro é feito simplesmente multiplicando o número de períodos pelo valor das prestações.

 VF = PGTO \times n

Exemplo: Imagine que você fez uma compra de R$ 900,00 no cartão de crédito parcelado em três vezes com juros de 10% ao mês. Para calcular o valor das prestações:

Calculamos o Coeficiente de Financiamento

 CF = \frac{0,10}{1-( 1 + 0,10 )^{-3}} = 0,4021

Depois, calculamos o valor das prestações

 PGTO = 0,4021 \times R$\, 900,00 = R$\, 361,89\, por\, m\hat{e}s

Para completar, calculamos o valor total pago pela compra

 VF = R$\, 361,89 \times 3\, parcelas = R$\, 1.085,67

Conclusão

Calcular juros num empréstimo ou financiamento pode parecer difícil, ainda mais para quem era ruim em matemática na escola. Porém, é um conhecimento essencial no mundo das finanças.

Isso foi apenas uma breve passagem em matéria de matemática financeira. Há muito mais a aprender em livros e cursos.

photo credit: Akash k via photopin cc

2 comments on “Como calcular juros: Uma Referência Completa

  • Imagine que você fez uma compra de R$ 900,00 no cartão de crédito parcelado em três vezes com juros de 10% ao mês. Para calcular o valor das prestações:

    no exemplo vocês estão fazendo o calculo como se 10% de 900 fosse o dobro do valor.
    10% de uma parcela de 300 ao mes da 30 reais e nao 60 reais.

    • Isso seria numa capitalização simples. No caso apresentado a capitalização dos juros é composta seguindo a tabela Price (parcelas iguais). O exemplo está correto no raciocínio.

      Porém o cálculo do coeficiente de financiamento está arredondado em dias casas decimais e o valor das parcelas estava impreciso. O erro já foi corrigido.

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